☛ ln(2)

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $I_n={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{x^n}{1+x}}\text{d}x}$ .

1. Pour tout réel $x\in [0;1]$ , on a  $0⩽{\displaystyle \frac{x^n}{1+x}}⩽x^n$ . Donc par croissance de l'intégrale,   ${\displaystyle {\int }_0^{1}0\text{d}x⩽{\int }_0^1{\displaystyle \frac{x^n}{1+x}}\text{d}x⩽{\int }_0^1{x}^n\text{d}x}$  soit $0⩽I_n⩽{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ .

Comme $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{n+1}}=0$ , alors, d'après le théorème des gendarmes, $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{I}_n=0$ .

2. a. Pour tout entier naturel $k$  non nul, on a $I_{k-1}+I_k={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{x^{k-1}}{1+x}}\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{x^k}{1+x}}\text{d}x}={\displaystyle {\int }_0^1{x}^{k-1}\left({\displaystyle \frac{1+x}{1+x}}\right)\text{d}x}={\displaystyle \frac{1}{k}}$ .

    b. On remarque que $(I_0+I_1)-(I_1+I_2)+(I_2+I_3)-(I_3+I_4)+...+(-1{)}^{n-1}(I_{n-1}+I_n)={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{(-1{)}^{k-1}}{k}}}$ . 
En simplifiant le membre de gauche, on trouve $I_0+(-1{)}^{n-1}{I}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{(-1{)}^{k-1}}{k}}}$ .
Comme $I_0=\ln (2)$ et $I_n\to 0$ , on peut conclure que   ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{(-1{)}^{k-1}}{k}}=\ln 2}$ .